笛卡尔乘积介绍
笛卡尔乘积介绍
发布时间:2016-12-28 来源:查字典编辑
摘要:笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(...

笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

在数学中,两个集合X和Y的

笛卡儿积(Cartesian product),又称

直积,表示为X×Y,是其第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的一个成员的所有可能的有序对:

笛卡尔乘积介绍1

笛卡儿积得名于笛卡儿,他的解析几何的公式化引发了这个概念。

具体的说,如果集合X是 13 个元素的点数集合 {A,K,Q,J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合Y是 4 个元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣},则这两个集合的笛卡儿积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

目录 1笛卡儿积的性质 2笛卡儿平方和 n-元乘积 3无穷乘积 4函数的笛卡儿积 5外部链接 6参见 笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质:

对于任意集合A,根据定义有笛卡尔乘积介绍2 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律,即

笛卡尔乘积介绍3

笛卡尔乘积介绍4

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笛卡尔乘积介绍6

笛卡尔乘积介绍7

笛卡儿平方和 n-元乘积

集合X的

笛卡儿平方(或

二元笛卡儿积)是笛卡儿积X×X。一个例子是二维平面

R,这里

R是实数的集合 - 所有的点 (x,y),这里的x和y是实数(参见笛卡儿坐标系)。

可以推广出在n个集合X1, ...,Xn上的

n-元笛卡儿积:

笛卡尔乘积介绍8

实际上,它可以被认同为 (X1× ... ×Xn-1) ×Xn。它也是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间

R,这里的

R再次是实数的集合。

为了辅助它的计算,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素形成有序对作为表的单元格。

无穷乘积

对最常用的数学应用而言上述定义通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果I是任何指标集合,而

笛卡尔乘积介绍9

是由I索引的集合的搜集,则我们定义

笛卡尔乘积介绍10

就是定义在索引集合上的所有函数的集合,使得这些函数在特定索引i上的值是Xi 的元素。

对在I中每个j,定义自

笛卡尔乘积介绍11

的函数

笛卡尔乘积介绍12

叫做

第j投影映射。

n-元组可以被看作在 {1, 2, ...,n} 上的函数,它在i上的值是这个元组的第i个元素。所以,在I是 {1, 2, ...,n} 的时候这个定义一致于对有限情况的定义。在无限情况下这个定义是集合族。

特别熟悉的一个无限情况是在索引集合是自然数的集合笛卡尔乘积介绍13的时候: 这正是其中第i项对应于集合Xi的所有无限序列的集合。再次,笛卡尔乘积介绍14提供了这样的一个例子:

笛卡尔乘积介绍15

是实数的无限序列的搜集,并且很容易可视化为带有有限数目构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积涉及因子Xi都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。则在定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从I到X的所有函数的集合。

此外,无限笛卡儿积更少直觉性,尽管有应用于高级数学的价值。

断言非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空等价于选择公理。

函数的笛卡儿积

如果f是从A到B的函数而g是从X到Y的函数,则它们的

笛卡儿积f×g是从A×X到B×Y的函数,带有

笛卡尔乘积介绍16

上述可以被扩展到函数的元组和无限指标。

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