笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

在数学中，两个集合X和Y的

笛卡儿积（Cartesian product），又称

直积，表示为X×Y，是其第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的一个成员的所有可能的有序对：

。

笛卡儿积得名于笛卡儿，他的解析几何的公式化引发了这个概念。

具体的说，如果集合X是 13 个元素的点数集合 {A,K,Q,J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合Y是 4 个元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，则这两个集合的笛卡儿积是 52 个元素的标准扑克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

目录 1笛卡儿积的性质 2笛卡儿平方和 n-元乘积 3无穷乘积 4函数的笛卡儿积 5外部链接 6参见 笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质：

对于任意集合A，根据定义有 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

笛卡儿平方和 n-元乘积

集合X的

笛卡儿平方(或

二元笛卡儿积)是笛卡儿积X×X。一个例子是二维平面

R×

R，这里

R是实数的集合 - 所有的点 (x,y)，这里的x和y是实数(参见笛卡儿坐标系)。

可以推广出在n个集合X1, ...,Xn上的

n-元笛卡儿积:

。

实际上，它可以被认同为 (X1× ... ×Xn-1) ×Xn。它也是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间

R×

R×

R，这里的

R再次是实数的集合。

为了辅助它的计算，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素形成有序对作为表的单元格。

无穷乘积

对最常用的数学应用而言上述定义通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果I是任何指标集合，而

是由I索引的集合的搜集，则我们定义

，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引i上的值是Xi 的元素。

对在I中每个j，定义自

的函数

叫做

第j投影映射。

n-元组可以被看作在 {1, 2, ...,n} 上的函数，它在i上的值是这个元组的第i个元素。所以，在I是 {1, 2, ...,n} 的时候这个定义一致于对有限情况的定义。在无限情况下这个定义是集合族。

特别熟悉的一个无限情况是在索引集合是自然数的集合的时候: 这正是其中第i项对应于集合Xi的所有无限序列的集合。再次，提供了这样的一个例子:

是实数的无限序列的搜集，并且很容易可视化为带有有限数目构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积涉及因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。则在定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

此外，无限笛卡儿积更少直觉性，尽管有应用于高级数学的价值。

断言非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空等价于选择公理。

函数的笛卡儿积

如果f是从A到B的函数而g是从X到Y的函数，则它们的

笛卡儿积f×g是从A×X到B×Y的函数，带有

上述可以被扩展到函数的元组和无限指标。