概述

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

堆的定义如下：具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn), 当且仅当满足:

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）或最大项（大顶堆）。

若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点（有子女的结点）的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。

(a)大顶堆序列：(96, 83, 27, 38, 11, 09)

(b)小顶堆序列：(12, 36, 24, 85, 47, 30, 53, 91)

初始时把要排序的n 个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素。然后对剩下的n-1个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

步骤&实例

实现堆排序需解决两个问题：

(1)如何将n 个待排序的数建成堆；

(2)输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

建堆方法（小顶堆）：

对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第n/2个结点的子树。

筛选从第n/2个结点为根的子树开始（n/2是最后一个有子树的结点），使该子树成为堆。

之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程

无序序列：(49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49)

(a) 无序序列，初始二叉树，97（第8/2=4个结点）为最后一个结点（49）的父结点。

(b) 97>=49,替换位置，接下来对n/2的上一个结点65进行筛选。

(c) 13<=27且65>=13,替换65和13的位置，接下来对38进行替换（都大于它，不需操作），对49进行筛选。

(d) 13<=38且49>=13,替换49和13的位置，49>=27,替换49和27的位置。

(e) 最终得到一个堆，13是我们得到的最小数。

调整堆的方法（小顶堆）：

设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶，堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，则重复方法(2).

若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，则重复方法(2).

继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

调整堆只需考虑被破坏的结点，其他的结点不需调整。

代码实现(Java)

运行代码结合注释与上面的实例步骤进行对比思考。

package com.coder4j.main; public class HeapSort { /** * 调整为小顶堆（排序后结果为从大到小） * * @param array是待调整的堆数组 * @param s是待调整的数组元素的位置 * @param length是数组的长度 * */ public static void heapAdjustS(int[] array, int s, int length) { int tmp = array[s]; int child = 2 * s + 1;// 左孩子结点的位置 System.out.println("待调整结点为：array[" + s + "] = " + tmp); while (child < length) { // child + 1 是当前调整结点的右孩子 // 如果有右孩子且小于左孩子，使用右孩子与结点进行比较，否则使用左孩子 if (child + 1 < length && array[child] > array[child + 1]) { child++; } System.out.println("将与子孩子 array[" + child + "] = " + array[child] + " 进行比较"); // 如果较小的子孩子比此结点小 if (array[s] > array[child]) { System.out.println("子孩子比其小，交换位置"); array[s] = array[child];// 把较小的子孩子向上移动，替换当前待调整结点 s = child;// 待调整结点移动到较小子孩子原来的位置 array[child] = tmp; child = 2 * s + 1;// 继续判断待调整结点是否需要继续调整 if (child >= length) { System.out.println("没有子孩子了，调整结束"); } else { System.out.println("继续与新的子孩子进行比较"); } // continue; } else { System.out.println("子孩子均比其大，调整结束"); break;// 当前待调整结点小于它的左右孩子，不需调整，直接退出 } } } /** * 调整为大顶堆（排序后结果为从小到大） * * @param array是待调整的堆数组 * @param s是待调整的数组元素的位置 * @param length是数组的长度 * */ public static void heapAdjustB(int[] array, int s, int length) { int tmp = array[s]; int child = 2 * s + 1;// 左孩子结点的位置 System.out.println("待调整结点为：array[" + s + "] = " + tmp); while (child < length) { // child + 1 是当前调整结点的右孩子 // 如果有右孩子且大于左孩子，使用右孩子与结点进行比较，否则使用左孩子 if (child + 1 < length && array[child] < array[child + 1]) { child++; } System.out.println("将与子孩子 array[" + child + "] = " + array[child] + " 进行比较"); // 如果较大的子孩子比此结点大 if (array[s] < array[child]) { System.out.println("子孩子比其大，交换位置"); array[s] = array[child];// 把较大的子孩子向上移动，替换当前待调整结点 s = child;// 待调整结点移动到较大子孩子原来的位置 array[child] = tmp; child = 2 * s + 1;// 继续判断待调整结点是否需要继续调整 if (child >= length) { System.out.println("没有子孩子了，调整结束"); } else { System.out.println("继续与新的子孩子进行比较"); } // continue; } else { System.out.println("子孩子均比其小，调整结束"); break;// 当前待调整结点大于它的左右孩子，不需调整，直接退出 } } } /** * 堆排序算法 * * @param array * @param inverse true 为倒序排列，false 为正序排列 */ public static void heapSort(int[] array, boolean inverse) { // 初始堆 // 最后一个有孩子的结点位置 i = (length - 1) / 2, 以此向上调整各结点使其符合堆 System.out.println("初始堆开始"); for (int i = (array.length - 1) / 2; i >= 0; i--) { if (inverse) { heapAdjustS(array, i, array.length); } else { heapAdjustB(array, i, array.length); } } System.out.println("初始堆结束"); for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) { // 交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素 int tmp = array[i]; array[i] = array[0]; array[0] = tmp; // 每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整 if (inverse) { heapAdjustS(array, 0, i); } else { heapAdjustB(array, 0, i); } } } public static void main(String[] args) { int[] array = { 49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49 }; heapSort(array, false); for (int i : array) { System.out.print(i + " "); } } }

运行结果：

初始堆开始 待调整结点为：array[3] = 97 将与子孩子 array[7] = 49 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[2] = 65 将与子孩子 array[5] = 13 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[1] = 38 将与子孩子 array[3] = 49 进行比较 子孩子均比其大，调整结束 待调整结点为：array[0] = 49 将与子孩子 array[2] = 13 进行比较 子孩子比其小，交换位置 继续与新的子孩子进行比较 将与子孩子 array[6] = 27 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 初始堆结束 待调整结点为：array[0] = 97 将与子孩子 array[2] = 27 进行比较 子孩子比其小，交换位置 继续与新的子孩子进行比较 将与子孩子 array[6] = 49 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[0] = 97 将与子孩子 array[1] = 38 进行比较 子孩子比其小，交换位置 继续与新的子孩子进行比较 将与子孩子 array[3] = 49 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[0] = 65 将与子孩子 array[1] = 49 进行比较 子孩子比其小，交换位置 继续与新的子孩子进行比较 将与子孩子 array[4] = 76 进行比较 子孩子均比其大，调整结束 待调整结点为：array[0] = 76 将与子孩子 array[2] = 49 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[0] = 97 将与子孩子 array[1] = 65 进行比较 子孩子比其小，交换位置 没有子孩子了，调整结束 待调整结点为：array[0] = 76 将与子孩子 array[1] = 97 进行比较 子孩子均比其大，调整结束 待调整结点为：array[0] = 97 97 76 65 49 49 38 27 13

PS：堆排序与直接插入排序的区别

直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。