二叉树的概念
二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点
每个结点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。二叉树中每一个节点都是一个对象,每一个数据节点都有三个指针,分别是指向父母、左孩子和右孩子的指针。每一个节点都是通过指针相互连接的。相连指针的关系都是父子关系。
二叉树节点的定义
二叉树节点定义如下:
复制代码 代码如下:
struct BinaryTreeNode
{
int m_nValue;
BinaryTreeNode* m_pLeft;
BinaryTreeNode* m_pRight;
};
二叉树的五种基本形态
空二叉树
只有一个根结点
根结点只有左子树
根结点只有右子树
根结点既有左子树又有右子树
拥有三个结点的普通树只有两种情况:两层或者三层。但由于二叉树要区分左右,所以就会演变成如下的五种形态:
特殊二叉树
斜树
如上面倒数第一副图的第2、3小图所示。
满二叉树
在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。如下图所示:
完全二叉树
完全二叉树是指最后一层左边是满的,右边可能满也可能不满,然后其余层都是满的。一个深度为k,节点个数为 2^k - 1 的二叉树为满二叉树(完全二叉树)。就是一棵树,深度为k,并且没有空位。
完全二叉树的特点有:
叶子结点只能出现在最下两层。
最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
倒数第二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置。
如果结点度为1,则该结点只有左孩子。
同样结点树的二叉树,完全二叉树的深度最小。
注意:满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树。
算法如下:
复制代码 代码如下:
bool is_complete(tree *root)
{
queue q;
tree *ptr;
// 进行广度优先遍历(层次遍历),并把NULL节点也放入队列
q.push(root);
while ((ptr = q.pop()) != NULL)
{
q.push(ptr->left);
q.push(ptr->right);
}
// 判断是否还有未被访问到的节点
while (!q.is_empty())
{
ptr = q.pop();
// 有未访问到的的非NULL节点,则树存在空洞,为非完全二叉树
if (NULL != ptr)
{
return false;
}
}
return true;
}
二叉树的性质
二叉树的性质一:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)
二叉树的性质二:深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
二叉树的顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的各个结点,并且结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系。
二叉链表
既然顺序存储方式的适用性不强,那么我们就要考虑链式存储结构啦。二叉树的存储按照国际惯例来说一般也是采用链式存储结构的。
二叉树每个结点最多有两个孩子,所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法,我们称这样的链表叫做二叉链表。
二叉树的遍历
二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
二叉树的遍历有三种方式,如下:
(1)前序遍历(DLR),首先访问根结点,然后遍历左子树,最后遍历右子树。简记根-左-右。
(2)中序遍历(LDR),首先遍历左子树,然后访问根结点,最后遍历右子树。简记左-根-右。
(3)后序遍历(LRD),首先遍历左子树,然后遍历右子树,最后访问根结点。简记左-右-根。
前序遍历:
若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根结点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。
遍历的顺序为:A B D H I E J C F K G
复制代码 代码如下:
//先序遍历
function preOrder(node){
if(!node == null){
putstr(node.show()+ " ");
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
}
中序遍历:
若树为空,则空操作返回,否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左子树,然后是访问根结点,最后中序遍历右子树。
遍历的顺序为:H D I B E J A F K C G
复制代码 代码如下:
//使用递归方式实现中序遍历
function inOrder(node){
if(!(node == null)){
inOrder(node.left);//先访问左子树
putstr(node.show()+ " ");//再访问根节点
inOrder(node.right);//最后访问右子树
}
}
后序遍历:
若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后访问根结点。
遍历的顺序为:H I D J E B K F G C A
复制代码 代码如下:
//后序遍历
function postOrder(node){
if(!node == null){
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
putStr(node.show()+ " ");
}
}
实现二叉查找树
二叉查找树(BST)由节点组成,所以我们定义一个Node节点对象如下:
复制代码 代码如下:
function Node(data,left,right){
this.data = data;
this.left = left;//保存left节点链接
this.right = right;
this.show = show;
}
function show(){
return this.data;//显示保存在节点中的数据
}
查找最大和最小值
查找BST上的最小值和最大值非常简单,因为较小的值总是在左子节点上,在BST上查找最小值,只需遍历左子树,直到找到最后一个节点
查找最小值
复制代码 代码如下:
function getMin(){
var current = this.root;
while(!(current.left == null)){
current = current.left;
}
return current.data;
}
该方法沿着BST的左子树挨个遍历,直到遍历到BST最左的节点,该节点被定义为:
复制代码 代码如下:
current.left = null;
这时,当前节点上保存的值就是最小值
查找最大值
在BST上查找最大值只需要遍历右子树,直到找到最后一个节点,该节点上保存的值就是最大值。
复制代码 代码如下:
function getMax(){
var current = this.root;
while(!(current.right == null)){
current = current.right;
}
return current.data;
}